الأهداف العامة للموضوع: عند الانتهاء من الدورة ، يجب أن يكون الطالب قادرًا على:
- - التعرف على المصفوفات وتمثيل المشكلات في شكل مصفوفة - إجراء العمليات المختلفة الممكنة بمهارة بين المصفوفات - حساب محدد المصفوفة ، وتفسير هذه القيمة واستخدام خصائصها بشكل مناسب - حل أي نظام من المعادلات الخطية باستخدام تدوين المصفوفة بواسطة الطرق المختلفة. - تنفيذ العمليات المختلفة عند العمل مع النواقل وتطبيق خصائصها على حل مشاكل الخرسانة المختلفة.
TAME 1: MATRICES.
المصفوفة عبارة عن مجموعة مستطيلة من الأرقام مرتبة في صفوف m- صفوف (أفقيًا) و n أعمدة (رأسية) محاطة بأقواس أو أقواس مربعة.
أكثر الرموز استخدامًا هي A = حيث i هو رقم موضع الصف و j للعمود.
عادة ما يتم تحديد حجم المصفوفة بكتابة " mxn " منخفض
عندما م = ن يقال أن المصفوفة مربعة.
قطري رئيسي: يوجد فقط في المصفوفات المربعة وهو الخط الذي يتكون من العناصر a ij مثل i = j
أثر المصفوفة: هو مجموع عناصر القطر الرئيسي.
الخريطة (أ) = أ 11 + أ 22 + أ 33 +… + أ ن ن
أنواع المواد
مصفوفة الصف: إنها مصفوفة من الرتبة 1 x n.
مصفوفة العمود: إنها مصفوفة من أجل mx 1.
مصفوفة خالية: إنها مصفوفة كل عناصرها "0"
المصفوفة المثلثية العليا: هي مصفوفة مربعة عناصرها a ij = o عندما i> j
المصفوفة المثلثية السفلية: هي مصفوفة مربعة عناصرها a ij = o عندما i
المصفوفة القطرية: هي مصفوفة مربعة عناصرها a ij = o عندما i ≠ j
المصفوفة العددية: هي مصفوفة قطرية عناصرها a ij = k (k ≠ 0) عندما i = j
مصفوفة الهوية: هي مصفوفة قطرية عناصرها a ij = 1 عندما i = j
المصفوفة المتماثلة: هي مصفوفة مربعة حيث a ij = a ji لـ i ≠ j
مصفوفة غير متماثلة: إنها مصفوفة مربعة حيث ij = - a ji لـ i ≠ j و a ij = 0 لـ i = j
العمليات مع الأمهات
المصفوفة المقابلة: دع A = عكسها هو - A = - =
مصفوفة منقولة : لنفترض أن A = من الترتيب mxn ، يتم الحصول على تبديلها عن طريق تبديل الصفوف مع الأعمدة ويشير إلى A ' أو A t = وهو أمر nxm
مجموع المصفوفات: دع المصفوفات تكون A = و B = يتم الحصول على مجموعها عن طريق الجمع
"عنصر بعنصر" A + B = y له نفس الحجم.
ملاحظة: يمكن إضافة مصفوفات من نفس الحجم فقط.
الضرب بواسطة العدد القياسي: يتم الحصول على ناتج المصفوفة A = بـ "k" من خلال ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في العدد القياسي المذكور k · A =
ملاحظة: في عمل المصفوفة ، من المعتاد استدعاء مقياس كميات رقمية مستقلة.
ضرب المصفوفة: يكون حاصل ضرب مصفوفتين ممكنًا فقط عندما يكون عدد الصفوف في المصفوفة الثانية مساويًا لعدد الأعمدة في الأولى.
اجعل المصفوفات A = mx p و B = p xn هي المنتج لأن عدد الصفوف في B هو p ويساوي عدد الأعمدة في A. المصفوفة الناتجة C هي من الترتيب mxn C = A · B = mxn ويتم الحصول على عناصرها بضرب عناصر صفوف A بالعناصر المقابلة لأعمدة B وإضافة هذه المنتجات.
التركيبات الخطية: يقال إن صف المصفوفة هو مزيج خطي من الصفوف الأخرى ، إذا كانت هناك أعداد حقيقية ك 1 ؛ ك 2 ؛ ك 3 ؛… ؛ ك ن بحيث يكون الصف المحدد هو مجموع حاصل ضرب كل رقم حقيقي وكل من الصفوف الأخرى في المصفوفة.
العمليات بين صفوف المصفوفة:
بين صفوف المصفوفة ، يمكن إجراء العمليات التالية دون توقف المصفوفة الناتجة عن أن تكون مكافئة للمصفوفة الأصلية.
- تبديل صفين من المصفوفة اضرب صفًا برقم حقيقي غير صفري أضف أو اطرح توليفة خطية لواحد أو أكثر من الصفوف الأخرى في المصفوفة من صف.
معكوس المصفوفة:
في العمل مع الأعداد الحقيقية ، يمكن استبدال قسمة رقم " أ " برقم " ب " بمنتج " أ " بمقلوب " ب ".
لم يتم تحديد طريقة لقسمة المصفوفات مباشرةً ، ولكن إذا تمكنا من إيجاد مصفوفة معكوسة للمصفوفة المعطاة ، فيمكننا تحديد (في الحالات الممكنة) قسمة المصفوفة A بين المصفوفة B على أنها حاصل ضرب المصفوفة A بالمصفوفة B -1 أين
ب -1 هو معكوس مصفوفة ب.
إحدى الطرق الأكثر استخدامًا للعثور على معكوس المصفوفة هي طريقة Gauss-Jordan وتتكون من تدوين مصفوفة الهوية المقابلة لجانب المصفوفة المعينة ، ثم إجراء تحويلات على صفوف كلتا المصفوفتين حتى تحويل المصفوفة المعطاة إلى متطابقة ، فإن المصفوفة الناتجة عن التحويلات التي أجريت على الهوية ستكون معكوس المصفوفة الأصلية.
خصائص حساب المصفوفة:
بافتراض أن أحجام المصفوفات تجعل من الممكن إجراء العمليات المشار إليها:
ترويض 2: المحددون.
في دراسات سابقة قد عملت مع reares وظائف حقيقية متغير مثل كما و (س) = 3X - 2 هي وظيفة أن العدد الحقيقي س الزميلة قيمة حقيقية و (خ). المحدد هو دالة تربط رقمًا حقيقيًا بمتغير مصفوفة ويتم تعريفها على أنها det (A).
- محدد مصفوفة من الدرجة الأولى (مكونة من رقم حقيقي) هو الرقم الحقيقي نفسه ، ومحدد مصفوفة من الدرجة الثانية هو حاصل ضرب القطر الرئيسي مطروحًا منه منتج القطر الثانوي.
المحدد كرقم حقيقي مرتبط بمصفوفة له الخصائص التالية:
- إذا كانت المصفوفة A تحتوي على صف أو عمود جميع عناصره "0" ، فإن det (A) = 0 إذا كانت المصفوفة A تحتوي على صفين متساويين ، det (A) = 0 إذا كانت A عبارة عن مصفوفة مربعة ، det (A t) = det (A) إذا كانت A عبارة عن مصفوفة مثلثة ، det (A) = a 11 0a 22 0a 33 0… 0a nn إذا كانت المصفوفة B ناتجة عن إضافة مضاعف لصف آخر إلى صف من المصفوفة A ، det (A) = det (B) إذا كانت B نتيجة تبادل صفين في مصفوفة A ، det (A) = - det (B) إذا كانت المصفوفة B ناتجة عن ضرب صف من المصفوفة A في عددية k ثم det (B) = k0det (A) إذا كان A و B مصفوفتان متساويتان في الحجم ، det (A0B) = det (A) 0det (B) det (A + B) ≠ det (A) + det (B)
ملاحظة: إذا كانت المصفوفة A قابلة للانعكاس ، فإن الاكتشاف (A) ≠ 0
طرق تقييم محددات الترتيب "n".
- عن طريق التخفيض (مع العمليات الأولية بين الصفوف).
تتكون هذه الطريقة من تحويل المصفوفة إلى مصفوفة مثلثة عن طريق إجراء عمليات على الصفوف ومع مراعاة خصائص المحددات ، يتم الحصول على المحدد من محدد المصفوفة الناتجة.
- عن طريق تطوير العوامل المساعدة في الصفوف أو الأعمدة (قاعدة كرامر).
لشرح هذه الطريقة ، من الضروري أولاً أن تكون قاصرًا وأنها عامل مساعد أو مكمل.
محدد مصفوفة من الرتبة n هو مجموع حاصل ضرب عناصر صف أو عمود بواسطة العامل المساعد المقابل لها.
معكوس مصفوفة باستخدام المحدد:
بالنظر إلى المصفوفة المربعة A ، فإنها تسمى المصفوفة المجاورة من A ، ويتم تمثيل المصفوفة بالمصفوفة المجاورة A ، إلى المصفوفة التي يتم الحصول عليها عن طريق استبدال كل عنصر من عناصر A بالعامل المساعد المقابل لها. ثم يمكن حساب معكوس A بالصيغة التالية:
الوحدة الثالثة: أنظمة المعادلات الخطية.
المعادلة الخطية: الخطية هي مساواة حيث يوجد مجهول واحد أو أكثر أو كميات غير معروفة.
يتكون حل المعادلة من إيجاد قيمة أو قيم المجهول التي تحمل المساواة لها.
عندما يكون لمعادلة خطية غير معروف واحد فقط ، يكون لها حل واحد فقط ويتم حلها عن طريق إيجاد المجهول أو المتغير.
عندما تحتوي المعادلة الخطية على أكثر من معادلة غير معروفة ، يكون لها العديد من الحلول (لانهائية في معظم الحالات) لأنه عند حل أحد المتغيرات تظل دالة للآخر. لحلها ، من الضروري تعيين قيمة المعلمة إلى متغير ، ثم تعتمد المتغيرات الأخرى على المعلمة المعينة.
أنظمة المعادلات الخطية: تسمى هكذا عندما يكون لديهم أكثر من معادلة مع أكثر من معادلة واحدة غير معروفة ، في هذه الحالة يمكن إعطاء ثلاثة حلول ممكنة:
- أن النظام يحتوي على حل واحد (متوافق ومحدد) أن النظام يحتوي على أكثر من حل (متوافق غير محدد) أن النظام ليس له حل (غير متوافق)
نظرًا لأن المعادلة الخطية تمثل خطًا مستقيمًا ، يمكن تفسير الحلول على النحو التالي:
- متوافق ويحدد (الخطوط التي تتقاطع) متوافق غير محدد (خطوط مكافئة أو متطابقة) غير متوافق (خطوط متوازية) أ) ب) ج)
توجد عدة طرق لحل أنظمة المعادلات الخطية المكونة من 2 أو 3 معادلات ذات مجاهيل 2 أو 3. في هذه الدورة ، لن يتم العمل على أولئك الذين تم تعلمهم بالفعل في المواد السابقة ، باستثناء طريقة كرامر ، والتي سيتم توسيعها لتشمل أنظمة المعادلات n مع n-unknowns.
بشكل عام ، يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية (SEL) للمعادلات m مع ninccognites:
كما في هذه الدورة سوف ندرس استخدام المصفوفات والمحددات لحل SEL ، دعنا نرى بعد ذلك مع مثال طريقتين لكتابة SEL مع تمثيل المصفوفة.
س 1 + س 2 + 2 × 3 = 8 - س 1 - 2 × 2 + 3 × 3 = 1 3 × 1 - 7 × 2 + 4 × 3 = 11
طرق الحل:
- طريقة جاوس.
تتكون طريقة Gaussian من تحويل المصفوفة الممتدة لنظام المعادلات إلى مصفوفة متدرجة (تحويل جزء من معاملات المصفوفة إلى مثلث).
- طريقة جاوس جوردان.
تتكون طريقة Gauss-Jordan من تحويل المصفوفة الممتدة لنظام المعادلات إلى مصفوفة متدرجة ومختصرة (تحويل جزء من معاملات المصفوفة إلى متطابقة).
- طريقة كرامر.
الطريقة التي تمت دراستها في الدورات السابقة تنطبق على SEL للمعادلات n مع n-unknowns.
- الطريقة العكسية.
يتكون من كتابة SEL بالصيغة A0X = B ثم حل X = A -1 - 0B بتطبيق ضرب المصفوفة.
أنظمة متجانسة من المعادلات الخطية:
عندما تكون جميع المصطلحات المستقلة في SEL هي "0" ، يُقال إن النظام متجانس ويمكن أن يحتوي على:
- وهناك حل واحد هو S = (0؛ 0؛…؛ 0) (تافهة الحل) لانهائي غير تافهة الحلول في إضافة إلى الحل
يتم حلها بشكل عام بواسطة Gauss - Jordan.
الموضوع 2: مساحات المتجهات
ثلاثة أبعاد:
نسمي المقدار المادي لتلك الخاصية للجسم التي يمكن قياسها. الكتلة أو الطول أو السرعة أو درجة الحرارة كلها كميات فيزيائية. الرائحة أو التعاطف ، بما أنه لا يمكن قياسهما ، ليسا كميات مادية.
بالنسبة للعديد من الكميات الفيزيائية ، يكفي الإشارة إلى قيمتها بحيث يتم تحديدها تمامًا. وهكذا ، على سبيل المثال ، إذا قلنا أن خوسيه أنطونيو لديه درجة حرارة 38 درجة مئوية ، فإننا نعلم جيدًا أنه مصاب بالحمى وإذا كان طول روزا 165 سم وكتلتها 35 كجم ، فمن الواضح أنها نحيفة للغاية. عندما يتم تحديد كمية بقيمتها ، فإنها تسمى كمية قياسية.
المقادير الأخرى ، بقيمتها العددية ، لا تزودنا بكل المعلومات. إذا أخبرونا أن بيدرول كان يجري بسرعة 20 كم / ساعة ، فإننا بالكاد نعرف أي شيء أكثر مما كنا نعرفه في البداية. يجب أن يخبرونا أيضًا من أين كان يركض وإلى أين يتجه.
هذه الكميات التي ، بالإضافة إلى قيمتها ، تتطلب اتجاهًا تسمى كميات متجهة ، ويتم تمثيلها بالمتجهات. في هذا الموضوع سوف ندرس النواقل وخصائصها.
يمكننا اعتبار المتجه قطعة مستقيمة مع سهم في أحد طرفيه. وبهذه الطريقة يمكننا أن نميز من قبل أربعة أجزاء أساسية هي: نقطة من التطبيق، وحدة (القاعدة أو كثافة)، الاتجاه و المعنى. إذا اختلف متجهان في أي من العناصر الثلاثة الأخيرة ، (الكثافة أو الاتجاه أو الإحساس) ، فسنعتبرها مختلفة.
بينما إذا اختلفوا فقط في نقطة التطبيق ، فسنعتبرهم متساويين.
من الممكن دائمًا رسم متجهين لهما نفس الاتجاه ولكن الاتجاه المعاكس. إذا كانت لديهم أيضًا نفس الكثافة ، فإننا نقول إنها متجهات معاكسة ، لأنها تلغي بعضها البعض.
نحن نعلم بالفعل كيف يمكننا تمثيل الكميات المتجهة. ولكن إذا أردنا أن نكون قادرين على العمل مع النواقل ، فلا يمكننا القبول بتمثيل رسومي لها ، وعلينا أن نكون قادرين على التعبير عنها عدديًا ، حتى نكون قادرين على العمل بشكل أكثر راحة ولكي نكون قادرين على دراستها بشكل أفضل.
يمكن رسم أي متجه على مستوى ، إذا قمنا بوضعه بطريقة تتطابق نقطة التطبيق الخاصة به مع أصل الإحداثيات ، نهاية المتجه ، فإنه سيتزامن مع نقطة على المستوى ، النقطة (x ، y).
تحدد أي نقطة (س ، ص) المتجه الذي يبدأ من أصل الإحداثيات وينتهي عند النقطة نفسها. من الناحية التحليلية ، سوف نمثل المتجه بالنقطة التي تحدد نهايته. سوف نسمي إحداثيات مكونات المتجه ، وبالتالي سيتم تعريف كل متجه بمكونين ، أحدهما x والآخر y ، وهما المكونان الديكارتيان للمتجه.
بالإضافة إلى إحداثياته الديكارتية ، هناك طريقة أخرى لتحديد المتجه رقميًا: الإشارة إلى شدته والزاوية التي يتشكل منها مع محور الإحداثي. هذه (المعامل والزاوية) هي الإحداثيات القطبية للمتجه. في كثير من الحالات ، يكون العمل مع الإحداثيات القطبية أكثر ملاءمة من العمل مع الإحداثيات الديكارتية.
معرفة الإحداثيات القطبية للمتجه ، وتحديد إحداثياته الديكارتية أمر فوري من خلال تطبيق علم المثلثات.
المتجهات والمواد:
يمكن تمثيل المتجه كمصفوفة صف أو مصفوفة عمود ، بنفس الطريقة يمكن اعتبار صفوف وأعمدة المصفوفة كمتجهات.
عمليات ناقلات:
الإضافة: إضافة المتجهات تضيف متجهات وتنتج متجهًا. يمكن تنفيذ هذه العملية ، بيانياً (كما تمت دراسته في الدورات السابقة) وتحليلياً.
ملاحظة: الهدف من هذه الدورة هو العمل بشكل أكبر بهذه الطريقة الأخيرة.
لإضافة متجهين أو أكثر بطريقة تحليلية ، من الضروري أولاً التعبير عنهم في الإحداثيات الديكارتية ثم يتم إضافتهم كمصفوفات صفوف (مكونًا بمكون). يمكن إضافة نواقل متساوية الحجم فقط.
مثل أي عملية ، فإن إضافة المتجهات لها بعض الخصائص التي تجعل من السهل تنفيذها:
| خاصية التبديل | v + w = w + v |
| ملكية مشتركة | (v + w) + u = w + (v + u) |
| عنصر محايد | الخامس + 0 = الخامس |
| العنصر المقابل | الخامس + (-v) = 0 |
الضرب بواسطة عددي: يمكن أن يُضرب المتجه بواسطة عددي وفي هذه الحالة يتم ضرب كل مكون من المتجه في العدد.
بيانيا يعني ضرب معامل المتجه:
الضرب بواسطة عددي له خصائص معينة: Let U؛ الخامس؛ ناقلات W و k ؛ ل عددي:
النقابي K0 (l0U) = (K0L) 0U
التوزيع k0 (U + V) = k0U + K0V
(k + l) 0V = k0V + l0V
العنصر المحايد 1 - 0W = W
مساحات ناقلات
تعودنا على تمثيل نقطة على الخط كرقم حقيقي ؛ نقطة في المستوى كزوج مرتب ونقطة في فضاء ثلاثي الأبعاد كثلاثية أو ثلاثية مرتبة. لكن إذا تعرفنا على مجموعة من الأرقام المرتبة (أ 1 ؛ أ 2 ؛ أ 3 ؛ أ 4) كنقطة في الفضاء رباعي الأبعاد ، على الرغم من أن هذه الفكرة لا يمكن تصورها هندسيًا خارج الفضاء ثلاثي الأبعاد ، فمن الممكن فهمها من خلال النظر في الخصائص تحليلات الأرقام بدلاً من الخصائص الهندسية.
A متجهة فراغ وانما هو مجموعة غير فارغ من ن ناقلات فرز الخصائص المتوافقة قريبة وأعلاه ل مبلغ و و الضرب من قبل على نطاق و ص. يتم الإشارة إليها بواسطة R n ويتم تصنيفها على النحو التالي:
R 1 = فضاء أحادي البعد ، خط مستقيم حقيقي.
R 2 = مساحة ثنائية الأبعاد ، أزواج مرتبة.
R 3 = فضاء ثلاثي الأبعاد ، ثلاث مرات مرتبة.
R n = مساحة ذات أبعاد n ، مرتبة n-adas.
خاصية الإغلاق: تحدد أنه عند تشغيل عنصرين من مجموعة ، يجب أن تنتمي النتيجة إلى المجموعة المعينة في العملية.
دعونا U. الخامس؛ متجهات W تنتمي إلى R n و k ؛ ل عددي:
خاصية الإغلاق لمجموع V + W Є R n
الخاصية التبادلية v + w = w + v
الخاصية الترابطية (v + w) + u = w + (v + u)
عنصر محايد v + 0 = v
العنصر المقابل v + (-v) = 0
خاصية إغلاق الضرب بواسطة عددي k0W Є R n
النقابي K0 (l0U) = (K0L) 0U
التوزيع k0 (U + V) = k0U + K0V
(k + l) 0V = k0V + l0V
العنصر المحايد 1 - 0W = W
المنتج العددي: المنتج العددي ؛ (المنتج النقطي أو المنتج الداخلي الإقليدي) هو نوع من الضرب المحدد بين النواقل وهو مفيد جدًا للتطبيقات الخاصة بالمشكلات الحقيقية لأنه يخصص قيمة حقيقية لعملية بين المتجهات ويتم تعريفه على النحو التالي:
يتم تعريفه أيضًا من حيث مكوناته الديكارتية.
uv ⋅ = u 1 ⋅ v 1 + u 2 ⋅ v 2
يتم تمديده بالمثل لفضاء المتجه R n.
حاصل الضرب المتقاطع للمتجهات: هو نوع من الضرب الذي يتم تعريفه لفضاء المتجه R 3 والذي يستخدم على نطاق واسع في حل المشكلات التي يكون من الضروري فيها تحديد متجه عمودي (متعامد) على متجهين آخرين.
دع v = (v 1 ؛ v 2 ؛ v 3) و u = (u 1 ؛ u 2 ؛ u 3) المتجهات التي تنتمي إلى R 3
المنتج vxu هو متجه ينتمي إلى R 3 وعمودي على "v" و "u" ، ويمكن تحديد معناه باستخدام قاعدة اليد اليمنى:
يتم تحديده من خلال تكوين مصفوفة يكون صفها الأول مكونات المتجه الأول والصف الثاني هو مكونات المتجه الثاني ، ثم يكون كل مكون من المتجه الناتج هو محدد المصفوفة التي يتم الحصول عليها عن طريق قمع في المصفوفة شكل العمود المقابل لـ المكون الذي تبحث عنه عن طريق تغيير إشارة المكون الثاني:
بعض تطبيقات النواقل:
في زاوية يمكن حساب θ التي شكلتها متجهين من خلال الجمع بين صيغ المنتج العددية، من خلال التعبير التالي:
و المسافة بين نقطتين يمكن تحديد باستخدام صيغة وحدة من المتجه v = س 2 + ص 2 النظر في ناقلات أن ينضم إلى نقطة P 1 (س 1 ، ص 1 ، ض 1) مع النقطة P 2 (س 2 ؛ y 2 ؛ z 2) كالفرق بين المتجهات OP 2 - OP 1
يمكن حساب مساحة متوازي الأضلاع الذي تعتبر حوافه غير المتوازية كمتجهات في R 3 v (v 1 ؛ v 2 ؛ v 3) و u (u 1 ؛ u 2 ؛ u 3) كمعامل حاصل الضرب العرضي بين كلا المتجهين و منطقة مثلث النصف.
الجمع الخطي: يُقال أن المتجه "v" عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات v 1 ، v 2 ، v 3 ،… ، v n في فضاء متجه R n إذا كانت هناك أعداد حقيقية k 1 ، k 2 ،… k n بحيث يمكن التعبير عن "v" على النحو التالي:
V = ك 1 ف 1 + ك 2 ف 2 + ك 3 ف 3 +… + ك ن ت ن
للتحقق مما إذا كان المتجه "x" عبارة عن تركيبة خطية من v ، u ، w є R 3:
يُقترح نظام متجانس من المعادلات الخطية من أجل:
ك 1 ف + ك 2 u + ك 3 ث = س
ك 1 (ع 1 ؛ ع 2 ؛ ع 3) + ك 2 (ش 1 ؛ ش 2 ؛ ش 3) + ك 3 (عرض 1 ؛ ث 2 ؛ ث 3) = (س 1 ؛ س 2 ؛ × 3)
ك 1 0v 1 + ك 2 0u 1 + ك 3 0w 1 = x 1 ك 1 0v 2 + ك 2 0u 2 + ك 3 0w 2 = x 2 k 1 0v 3 + k 2 0u 3 + k 3 0w 3 = x 3
إذا كان النظام يحتوي على حل ، فإن المتجه x هو مجموعة خطية من v ، u ، w.
التبعية والاستقلالية الخطية: المتجهات v 1 ، v 2 ، v 3 ،…، v n يقال إنها تعتمد خطيًا إذا كانت هناك مجموعات خطية لا نهائية من هذه المتجهات التي تؤدي إلى المتجه 0.
إذا كانت التركيبة الخطية الوحيدة التي تعطي هذه النتيجة هي تلك التي فيها k 1 = k 2 =… = k n ، فيُقال إن المتجهات مستقلة خطيًا.
0 = ك 1 ضد 1 + ك 2 ضد 2 + ك 3 ضد 3 +… + ك ن ت ن
مثال: للتحقق من الاعتماد الخطي بين المتجهات v، u، w є R 3:
يُقترح نظام متجانس من المعادلات الخطية من أجل:
ك 1 ع + ك 2 ش + ك 3 ث = 0 ك 1 (ع 1 ؛ ع 2 ؛ ع 3) + ك 2 (ش 1 ؛ ش 2 ؛ ش 3) + ك 3 (ث 1 ؛ ث 2 ؛ ث 3) = (0 ؛ 0 ؛ 0)
ك 1 0v 1 + ك 2 0u 1 + ك 3 0w 1 = 0 ك 1 0v 2 + ك 2 0u 2 + ك 3 0w 2 = 0 ك 1 0v 3 + ك 2 0u 3 + ك 3 0w 3 = 0
إذا كان هذا النظام يحتوي على حل بسيط فقط ، فإن المتجهات تكون مستقلة خطيًا. إذا كان لديك حلول لا نهائية فهي تعتمد خطيًا.
مساحة المتجه المولدة: يُقال أن المتجهات v 1 ، v 2 ، v 3 ،…، v n تولد فضاء متجه V إذا كان يمكن كتابة أي متجه "b" من الفضاء المذكور كمجموعة من المتجهات المعطاة.
ب = ك 1 ضد 1 + ك 2 ضد 2 + ك 3 ضد 3 +… + ك ن ت ن
قاعدة وأبعاد مساحة المتجه: نظام متجه مجاني ، والذي يسمح بتوليد جميع متجهات مساحة المتجه الخاصة به هو أساس.
كل مساحة متجه لها قاعدة واحدة على الأقل.
يُطلق على عدد عناصر أساس نظام المتجهات أبعاد فضاء المتجه.
على سبيل المثال: المتجهات (0،0،1) و (0،1،0) و (1،0،0) هي الأساس الذي يتم استخدامه عادة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
التحولات الخطية
التحويل الخطي هو دالة متجه لمتغير المتجه w = f (v).
حيث: → مساحة المتجه "v" هي المتغير المستقل
→ مساحة المتجه "w" هي المتغير التابع
إذا كان V و W مسافات متجهة وكانت F دالة تربط متجهًا فريدًا في W لكل متجه من V ، فيقال إن F يطبق V على W ويكتب: F: V → W
علاوة على ذلك ، إذا كتبنا w = f (v) فإننا نقول إن w هي صورة v تحت f.
تعريف. يقول تعريف التحويل الخطي أن كل فضاء متجه في V و W يمكن إجراء تحويل خطي إذا كانت تفي بمبادئ التوزيع تحت المجموع T (u + v) = T (u) + T (v) والضرب بواسطة والعددية T (ك 0 ش) = ك 0 T (ش). تحقيقًا لما سبق ، فإن التحويل الخطي له خصائصه التالية:
- T (0) = 0T (-v) = - T (v) T (vu) = T (v) -T (u)
